数学が好きになったきっかけは「ロールケーキ」と『大学への数学』

岸本 森重文先生は、2021年に文化勲章を受章なさいました。おめでとうございます。

森 ありがとうございます。

岸本 森先生とのことで僕が覚えているのが、1990年におたがいに文化功労者に選ばれたときのことです。皇居に参るとき、僕は財団前理事長の岡田善雄先生から「皇居へはハイヤーで行くように」と言われてそうしたのですが、森先生はタクシーでこられて、帰りは僕のハイヤーでいっしょに帰りましたよね（笑）。

森 そんなことがありましたね（笑）。今さらですがありがとうございました。

岸本 『LFニュース』の対談ではずっと生命科学関連の研究者をお招きしてきましたが、果たしたかった数学者の方との対談をできればと思い、森先生におこしいただいた次第です。
数学といったら僕にはむずかしいイメージがあるけれど、そもそも森先生はなぜ数学をやろうと思われたのですか。

森 二つほどポイントとなる機会がありました。一つは、小学生時代、学習塾に通っていたことと関係しています。成績がよいわけではなく、算数への興味もなく、塾でただ過ごしていたんです。でも4年生のときだったでしょうか、塾の先生が鶴亀算のクイズを出して、「解けた人にはロールケーキをあげるよ」と言われました。ロールケーキは、何人分にも切ることができるから、よく考えられていましたね。結局、私だけ解くことができて、ケーキ1個を独り占めしちゃったんです。わざわざ先生が、家までいっしょにきて親にご褒美の説明をしてくれて。親がとても褒めてくれたんです。そのときの「算数ができた」という記憶が刷り込まれたのでしょうね。
　もう一つは、高校時代、本屋でたまたま『大学への数学』という雑誌を手にしたことです。「学力コンテスト」という読者参加型の企画があって、その問題を解くことができました。大学受験の問題とちがって、「これを解けるか！ さぁ解いてみろ」といった類のもので、考える力が試されるんです。高校の先生とも解法について話したり、解法に感動したりというのがありました。2年生のころから本格的に学コンの問題の解答を出版社に送るようになっていました。

広中平祐先生の「絵描き」に心打たれる

岸本 数学の中でも、森先生は「代数幾何学」をやっておられるのですね。代数といったら、「x²＋y²がなんぼ」といったもので、一方の幾何といったら三角形とかの図形が出てきて、といった印象です。「代数幾何学」はその合わさったものということでよろしいのですか。

森 そうです。代数と幾何とを両方組み合わせます。「幾何をやるのに代数を使う」ということです。たとえば、幾何で扱う「単位円」は、原点を中心とする半径1の円ですが、これを代数で「x²＋y²＝1」と表すことができます。

岸本 どうして代数幾何学を専攻しようと思われたのですか。

森 はじめは、大学時代の自主ゼミで代数の本を取り上げることになったんです。ちょうど京都大学に入学したときは大学紛争の只中で、授業が半年間なかったんですね。帰郷してしまった人もいたけれど、私は残って友人と自主ゼミをやったんです。そのとき選んだ本が代数関連のものでした。そのなかに「代数幾何学」の分野が載っていて、だんだんと興味が向かうようになりました。

岸本 僕なんかは、代数幾何学といわれても、正直おもしろさがわからないけれど、森先生は代数幾何学のなにがおもしろいと思ったんでしょう。

森 大学生当時、代数幾何学をやるか整数論をやるかで迷っていましたが、代数幾何学のほうは図形を見ることになるので視覚に訴えるものがあって、自分にはピンときたんです。大学3年生のときに、帰国されていた広中平祐先生が京都大学で「代数幾何入門」という集中講義をされていたんです。それで、射影空間とよばれる標準的な「入れもの」みたいなものに入らない3次元代数多様体があるという話は知っていたのですが、広中先生に講義後、「どうしてそういうものがあるのですか。どうやって証明するのですか」と伺ってみたんです。すると、広中先生は「それはこういうことだよ」と言いながら、さらさらっと絵を描かれたんです。その絵に「ああ、なるほど！」と妙に納得したんですね。それで代数幾何学にほれた感じです。

岸本 僕は、「この病気はなんで起こるんや。どうにか治したい」という気持ちがあって生命科学の研究を始めたのですが、数学の場合は……。森先生はどう役に立つと思われたのですかね。こんなの聞いたら怒られるかもしれないけれど（笑）。

森 いえいえ。私には役立てるとか役立ちたいといった感覚は一切なかったんです。自分はなにもできないというところから始まって、そんな自分が興味をもてる分野が代数幾何学だったということです。

岸本 なんで興味をもてたんですか。

森 解けないと思っていたのに、見方をすこし変えるだけでさっと解けた。数学の、特に代数幾何学のそうしたところに惹かれましたね。

岸本 それはどんなことでしょう。

森 たとえば、初等幾何の話でいえば、補助線ってありますよね。あれはその真髄です。補助線を一本引いたとたんに解ってしまうという。
　あと、今日は図ももってきましたけれど、「正方形5個を十字形に並べます。これを2度切り、4つに分割し、それらを組み替えて正方形をつくれ」といった問題も、見方を変えることでさっと解けてしまいます。この問題、岸本先生だったらどう解くでしょう。

岸本 うーん。どうするかな……。

森 論理的に考えてみると、正方形5個を組み替えて出来る正方形の面積はもとの正方形の面積の5倍ですね。だから、面積5倍の正方形の1辺の長さは、$\sqrt{5}$になります。すると、「直角三角形の斜辺の長さの2乗は、ほかの2辺の長さの2乗の和に等しい」という三平方の定理から、$\sqrt{5}$というのは辺の長さが1と2の長方形の斜辺になるとわかります。こうして切る形を求めていくことができます。（答えはこちら）

岸本 新聞に出されるクイズみたいなものですかね。

森 おなじようなものです。たんに数学的発想のおもしろさがあるだけで、こうしたものはなにかの役に立つという話ではないんです。

岸本 僕らは、病気の方の体を診ていて、まさにここに問題があるから「どうにか解決しよう」と思うわけです。けれども、数学では、ここに問題があるというのとはちがうでしょう。

森でも数学にも、まだ答の知られていない問題は世の中に多くありますよ。「こういうことができるといいなぁ」と思われていながら、どうやればよいかわからないような問題が。

4次元、5次元、高次元は「あるものだ」と考える

岸本 図形というものも、なにもかも見えるものじゃないんですか。

森 平面上には描けないような図形は、あります。

岸本 平面に描けないとしたら、どこに描けるんですか。

森 たとえば、x、y、zという変数を並べて方程式を立てるとしますよね。その方程式の解全体を考えるとします。そのときwという変数を加えたら次元が1つ上がるわけです。こうして4次元、5次元と、いくらでも次元を高くすることはできます。でも、4次元や5次元を平面の上に描こうとしてもそもそも無理な話じゃないですか。

岸本 1次元、2次元、3次元ぐらいまではわかります。でも、4次元や5次元となるとわからなくなる。4次元や5次元は、いったいどこにあるんですか。

森 それはもう、「そういうものがあるのだ」と数学者は考えるものなんです。
あると思わないと、なにもかも「見えないものは存在しない」という話になってしまいます。たとえば、岸本先生も、医学の研究でいろいろな検査をして、患者さんの診断データを出しますよね。そのとき、3つや4つでは済まない、たくさんの変数が出てきますよね。その1個1個を見ていくと、全体のことが見えてきて「こういうことか！」とわかる病気もあるのではないでしょうか。そのとき、「この全体は実在しているのだろうか」なんて考えたりはしませんよね。おなじように数学でも、1個1個の点を考えていくと、高次元の図形が見えてきて答が見えるということがあるわけで、そのとき4次元や5次元が実在するかどうかという話にはならないのです。

岸本 頭の中で4次元や5次元が見えているわけですか。

森 なんといいますか。より見やすくするための工夫は要ります。低次元のうちはアナログ的に思考したり発見したりすることも多くあります。でも次元が上がっていくと図を描けなくなるので、そこは代数でデジタル的にきちっと証明するといった手順になります。

感受性と固執は強いほう

岸本 森先生のご研究について、その入口だけでもお聞きできればと思います。森先生はフィールズ賞を受賞されましたが、そのスタートとなる最初の業績はどういったものでしたか。

森 私はずっと代数多様体についての研究をしてきました。代数多様体とは要するに図形、言い換えると空間のことです。空間がどう曲がっているかを研究するのが基本です。プラスに曲がっているときは「シャボン玉」のような形になります。曲がっていないときは平坦です。マイナスに曲がっているときは「馬の鞍」のような形になります。
最初に取り組んだのは、「ハーツホーン予想」を証明するというものでした。その問題は、「もし、どんな方向に行ってもプラスに曲がっていたら、それはどういう空間の形か」というものです。それで、私は「至るところプラスに曲がっているような空間は、シャボン玉のような形のものしかない」ということを解いたのです。それは「射影空間」とよばれる図形です。
さらに「至るところプラスに曲がっている空間は射影空間でしかない」ということが、どんな次元でもいえるということを証明しました。

岸本 4次元でも、5次元でも、それがいえるわけですね。でも、4次元とか、5次元とか……。本当は存在しませんよね……。

森 存在します！

岸本 頭の中では、存在する。

森 頭の中で存在します！

岸本 うーん。やっぱりフィールズ賞を受賞されるような方は、頭がよいってことでしょうか。

森 頭がよいとは思いません。

岸本 なにがちがうんでしょうかね。

森 一つは、感受性の問題かもしれません。

岸本 感受性ですか。

森 はい。見たものを「好き」と思ったり、問題を前にして「こうやってみよう」と思ったりということです。岸本先生が研究されてきた生命科学にも解くべき問題は昔からあって、研究者はいろいろな見方をして取り組まれていますよね。そのとき「こうやってみよう」と思うのは、その人の感受性によるものではないかと思うのです。

岸本 感受性のちがいだけですか。

森 あとは、固執の傾向もあるでしょうか。数とかに極端に興味をもって固執するような。でも、これもやはり何に興味をもつかの話であり、人の体に興味をもてば「病気を治したい」と思って、そのことに固執するのではないでしょうか。

EYES

「代数幾何学」を20世紀の 代表的な数学分野にした大きな成果